Oeuvres - Tome 9 - Théorie des fonctions analytiques

Fac-similé de la 4e édition, Paris : Gauthier-Villars, 1881

Joseph-Louis Lagrange

430 pages, parution le 22/02/2007

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Résumé

"Aucune des méthodes pratiquées ou proposées jusqu'à ce jour, pour suppléer à la méthode d'exhaustion des anciens, et pour la réduire en algorithme régulier, n'a paru à Lagrange réunir au degré désirable, l'exactitude et la simplicité requises dans les sciences mathématiques. Il a pensé néanmoins qu'il n'était pas impossible d'atteindre ce but important, et ses recherches à cet égard nous ont valu le grand ouvrage qu'il a publié sous le titre de Théorie des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniments petits, d'évanouissants, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies. Lagrange a de plus donné, sur le même sujet, un autre ouvrage considérable, intitulé, Leçons sur le calcul des fonctions, lequel est un commentaire et un supplément pour le premier.

Ces écrits sont marqués au coin du génie original et profond, auquel nous devions déjà le Calcul des variations et la Mécanique analytique ; mais comme ils doivent se trouver entre les mains de tous ceux qui veulent approfondir la science du calcul, je n'en dirai ici qu'un mot.

Afin de conserver, dans tout le cours de ses opérations, l'exactitude rigoureuse dont il s'est fait la loi de ne jamais s'écarter, Lagrange qui fait aussi usage des différentielles, sous une autre dénomination et sous une autre notation, les considère comme des quantités finies, indéterminées. En conséquence il ne néglige aucun terme, et prend ses différentielles, comme on le fait, dans le calcul aux différences finies. C'est à quoi il parvient par le théorème de Taylor, dont il fait la base de sa doctrine, et qu'il démontre directement par l'analyse ordinaire, tandis qu'avant lui, on ne l'avait encore démontré que par le secours même du calcul différentiel."

Lazare Carnot, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 2^e édition, 1813.
Reprint Éditions Jacques Gabay.

L'auteur - Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

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Sommaire

Des fonctions en général ; des fonctions primitives et dérivées. Des différentes manières dont on a envisagé le calcul différentiel. Objet de cet ouvrage
Première partie. Exposition de la théorie, avec ses principaux usages dans l'analyse.
- Chapitre I. - Développement en série d'une fonction d'une variable, lorsqu'on attribue un accroissement à cette variable. Formation successive des termes de la série. Théorème important sur la nature de ces séries
- Chapitre II. - Fonctions dérivées ; leur notation et leur algorithme
- Chapitre III. - Fonctions dérivées des puissances, des quantités exponentielles et logarithmiques, des sinus, cosinus, et des expressions composées de ces fonctions simples. Équations dérivées
- Chapitre IV. - Digression sur la manière de déduire les séries qui expriment les exponentielles, les logarithmes, les sinus, cosinus et les arcs de simples considérations algébriques
- Chapitre V. - Du développement des fonctions lorsqu'on donne à la variable une valeur déterminée. Cas dans lesquels la règle générale est en défaut. Des valeurs des fractions dont le numérateur et le dénominateur s'évanouissent en même temps. Des cas singuliers où le développement de la fonction ne procède pas suivant les puissances positives et entières de l'accroissement de la variable
- Chapitre VI. - Résolution générale des fonctions en séries. Développement des fonctions en séries terminées et composées d'autant de termes qu'on voudra. Moyen d'exprimer les restes depuis un terme quelconque proposé. Théorème nouveau sur ces séries
- Chapitre VII. - Des équations dérivées et de leur usage dans l'Analyse pour la transformation des fonctions. Théorie générale de ces équations et des constantes arbitraires qui y entrent
- Chapitre VIII. - Où l'on examine les cas simples dans lesquels on peut passer des fonctions ou des équations dérivées du premier ordre aux fonctions ou aux équations primitives. Des équations linéaires des différents ordres, et de celles qu'on peut rendre linéaires
- Chapitre IX. - Des valeurs singulières qui ne sont pas comprises dans les équations primitives complètes. Des équations primitives singulières
- Chapitre X. - De l'emploi des fonctions dérivées dans l'Analyse, et de la détermination des constantes arbitraires. Application à la sommation des suites et à la résolution des équations du troisième degré
- Chapitre XI. - Où l'on donne l'équation primitive d'une équation du premier ordre, dans laquelle les variables sont séparées, mais où l'on ne peut point obtenir directement les fonctions primitives de chacun des deux membres. Propriétés remarquables de ces fonctions primitives
- Chapitre XII. - Du développement des fonctions de deux variables. De leurs fonctions dérivées. Notation de ces fonctions et conditions auxquelles elles doivent satisfaire. Loi générale qui règne entre les termes du développement d'une fonction de plusieurs variables et ceux qui résultent du développement de ces termes eux-mêmes
- Chapitre XIII. - Où l'on donne la manière de développer les fonctions d'un nombre quelconque de variables en séries terminées et composées d'autant de termes qu'on voudra, et d'avoir la valeur des restes
- Chapitre XIV. - Des équations dérivées d'une équation entre trois variables. Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations primitives complètes entre trois variables
- Chapitre XV. - Formule remarquable pour le développement en série d'une fonction quelconque de l'inconnue z de l'équation z=x+y(...)(z)
- Chapitre XVI. - Méthode générale pour trouver l'équation primitive d'une équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque les fonctions dérivées sont linéaires, et pour trouver l'équation primitive d'une équation quelconque du premier ordre entre trois variables
Seconde partie. Application de la théorie des fonctions a la géométrie.
- Chapitre I. - Des différentes manières dont on a considéré les tangentes. Théorie des tangentes et des contacts de différents ordres, d'après les principes de la Géométrie ancienne
- Chapitre II. - Des lignes droites tangentes, des cercles tangents et du lieu de leurs centres. Des cercles osculateurs et du lieu de leurs centres. Analyse générale du contact des courbes planes. Du contact dans des cas singuliers, et des lignes asymptotes
- Chapitre III. - Problèmes directs et inverses sur le contact des courbes. Analyse des cas où l'on propose une relation entre les deux éléments du contact du premier ordre. De la courbe représentée par l'équation primitive singulière d'une équation du premier ordre
- Chapitre IV. - Des contacts du second ordre. Théorie et construction des équations primitives singulières dans les ordres supérieurs. Exemple contenant la théorie analytique des développées
- Chapitre V. - Des plus grandes et des moindres valeurs des fonctions d'une variable
- Chapitre VI. - De la mesure des aires, et de la longueur des arcs dans les courbes planes. De la mesure des solidités et de celle des surfaces des conoïdes. Principe général de la solution analytique de ces questions
- Chapitre VII. - Théorie du contact des courbes à double courbure. Du rayon osculateur, des centres de courbure et du lieu de ces centres. Des développées des courbes à double courbure. Quadrature et rectification de ces courbes
- Chapitre VIII. - Des surfaces courbes et de leurs plans tangents. Théorie du contact des surfaces courbes. Des contacts des différents ordres
- Chapitre IX. - Des sphères osculatrices. Des lignes de plus grande et de moindre courbure. Propriétés de ces lignes
- Chapitre X. - Solutions des questions dans lesquelles on propose une relation entre les éléments du contact du premier ordre des surfaces courbes. Construction de cette solution. Équation des surfaces développables
- Chapitre XI. - Des plus grandes et des moindres ordonnées des surfaces courbes. Solution générale des questions de maximis et minimis. Manière de distinguer les maxima des minima dans les fonctions de plusieurs variables
- Chapitre XII. - Des questions de maximis et minimis qui se rapportent à la méthode des variations. De l'équation commune au maximum et au minimum, et des caractères propres à distinguer les maxima des minima
- Chapitre XIII. - Extension de la méthode précédente aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. Problème de la brachistochrone. Caractères pour distinguer si une fonction proposée est ou non une fonction prime, ou en général une fonction dérivée d'un certain ordre
- Chapitre XIV. - De la mesure des solidités et des surfaces des corps de figure donnée
Troisième partie. Application de la théorie des fonctions a la mécanique.
- Chapitre I. - De l'objet de la Mécanique. Du mouvement uniforme et du mouvement uniformément accéléré. Du mouvement rectiligne en général. Relation entre l'espace, la vitesse et la force accélératrice
- Chapitre II. - De la composition des mouvements, et en particulier de celle de trois mouvements uniformes. De la composition et décomposition des vitesses et des forces. De la trajectoire des projectiles dans le vide
- Chapitre III. - Du mouvement curviligne. Des vitesses et des forces dans ce mouvement. Équations générales du mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques. De la manière d'éliminer le temps dans ces équations pour trouver la courbe décrite par le corps
- Chapitre IV. - De la question où il s'agit de trouver la résistance que le milieu doit opposer pour que le projectile décrive une courbe donnée. Analyse de la solution que Newton a donnée de ce problème dans la première édition de ses Principes. Source de l'erreur de cette solution. Distinction entre la méthode des séries et celle des fonctions dérivées, ou du Calcul différentiel
- Chapitre V. - Du mouvement d'un corps sur une surface donnée, ou assujetti à de certaines conditions. Du mouvement de plusieurs corps liés entre eux. Des équations de condition entre les coordonnées de ces différents corps, et de la manière d'en déduire les forces qui résultent de leur action mutuelle. Démonstration générale du principe des vitesses virtuelles
- Chapitre VI. - De la loi du mouvement du centre de gravité. De la loi des aires dans la rotation autour d'un axe fixe, ou d'un seul point fixe, ou autour du centre de gravité dans les systèmes libres
- Chapitre VII. - De la loi des forces vives dans le mouvement d'un système animé par des forces accélératrices quelconques. De la conservation des forces vives dans le choc des corps élastiques. De la perte de ces forces dans le choc des corps durs, ou en général dans les changements brusques que le système peut éprouver. De la somme des forces vives dans les situations de l'équilibre. Remarques générales sur l'économie de ces forces dans les machines
- Addition au Chapitre II de la première Partie, page 33
- Théorie des fonctions analytiques (Note de M. J.-A. Serret)

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Jacques Gabay
Auteur(s)	Joseph-Louis Lagrange
Parution	22/02/2007
Nb. de pages	430
Format	17 x 24
Couverture	Broché
Poids	800g
Intérieur	Noir et Blanc
EAN13	9782876472433
ISBN13	978-2-87647-243-3