Cours d'analyse de l'école polytechnique. calcul différentiel

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Cours d'analyse de l'école polytechnique. calcul différentiel

Camille Jordan - Collection Sciences

406 pages, parution le 01/04/2020

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Résumé

Cours d'analyse de l'École polytechnique. Calcul différentiel / par M. C. Jordan,...
Date de l'édition originale : 1882-1887

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

INTRODUCTION.

Numeros		Pages
I-II.	Quantités continues	1
III-IV.	Tangente à la parabole	2
V.	Quadrature de la parabole	2
VI-VII.	Infiniment petits de divers ordres	4 à 5
VIII.	Valeur principale. - Développement en série	5
IX-XI.	Dans une limite de rapport ou de somme on peut remplacer les infiniment petits par leurs valeurs principales	6 à 7

PREMIÈRE PARTIE.

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

CHAPITRE I.

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

I. - Définitions.

1.	Variables indépendantes. - Fonctions	9
2.	Revue des fonctions élémentaires	10
3.	Continuité	11

II. - Dérivée et différentielle d'une fonction d'une seule variable.

4.	Dérivée	12
5.	Dérivée de xm	13
6.	Dérivée de sin x	13
7-8.	Dérivée de log x	14
9.	Dérivée d'une somme	17
10.	Dérivée d'un produit	17
11.	Dérivée d'un quotient	18
12.	Dérivée d'une fonction de fonction	18
13.	Dérivée d'une fonction inverse	18
14.	Dérivée de cos x, tang x, arc sin x, arc tang x, ex, xm, etc	19
15.	Formule f(a+h) -f (a) = h f'(a + h)	21
16.	Une fonction dont la dérivée est constamment nulle est constante	22
17.	Différentielle	22

III. - Dérivées partielles. - Différentielle totale.

18.	Dérivées partielles	23
19-21.	Différentielle totale	24 à 26
22-23.	Dérivées et différentielle des fonctions composées	26 à 28
24-26.	Dérivée des fonctions implicites	28 à 30

IV. - Dérivées et différentielles d'ordre supérieur.

27-28.	Dérivées d'ordre supérieur	30 à 31
29.	L'ordre des dérivations est indifférent	31
30-31.	Différentielles d'ordre supérieur	32 à 33
32.	Expression générale de la différentielle nième d'une fonction de plusieurs variables	33
33.	Différentielle nième d'un produit	35
34.	Différentielles successives d'une fonction composée	35

V. - Changements de variables.

35.	Changement de la variable indépendante	36
36.	Changement simultané de la fonction	37
37.	Rayon de courbure en coordonnées polaires	38
38.	Dérivées successives d'une fonction inverse	39
39-40.	Extension au cas de plusieurs variables indépendantes	40 à 41
41-42.	Application aux paramètres différentiels	41 à 44
43.	Changement simultané de la fonction	46

CHAPITRE II.

FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

I. - Équations différentielles ordinaires.

44-45.	Définition	47
46-49.	Équations différentielles linéaires, auxquelles satisfont arc sin x,	47 à 51
50.	Élimination des constantes.	51
51-53.	Équation différentielle des coniques homofocales: des cercles, des coniques, des paraboles	52 à 54
54.	Condition pour que des fonctions soient liées par une relation linéaire	55

II. - Équations aux dérivées partielles.

55.	Définition	55
56.	Élimination des constantes	55
57.	Élimination des fonctions arbitraires	56
58-60.	Conditions pour que des fonctions soient liées par une relation. - Jacobien	57 à 59
61-63.	Équation aux dérivées partielles des cylindres, des cônes, des surfaces de révolution	61 à 62
64.	Théorème des fonctions homogènes	63
65.	Élimination de n fonctions arbitraires dépendant des mêmes arguments	63
66.	Équation des surfaces réglées	65
67-68.	Équation des surfaces développables	66 à 67

CHAPITRE III.

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE.

I. - Formule de Taylor.

69-71.	Formules de Taylor et de Maclaurin	69 à 71
72-73.	Extension aux fonctions de plusieurs variables	71 à 73

II. - Applications.

74.	Développement de (1 + x)m	73
75-76.	Développement de log (1+x). - Calcul des Tables de logarithmes	75 à 76
77-79.	Développement de ex, sin x, cos x	77 à 78
80-81.	Développement de arc tang x. - Calcul de	79 à 80

III. - Procédés pour effectuer les développements en série.

82-86.	Développement d'une somme, d'un produit, d'un quotient.	80 à 83
87-88.	Application aux nombres de Bernoulli	84 à 85
89-90.	Développement d'un radical	85 à 86
91-93.	Application aux fonctions Xn	87 à 89
94-99.	Développement des racines d'une équation algébrique	89 à 94
100.	Usages du développement précédent	94
101.	Limite de x ex pour x =	96
102.	Limite de x- log x pour x = ; de x logx pour x = 0	97
103.	Développement d'un logarithme	97
104.	Nécessité de la discussion du reste dans la formule de Maclaurin	98
105-106.	Vraie valeur des expressions indéterminées	99
107.	Limite de pour pour m = . - De xx pour x = 0	99
108.	Cas des fonctions de plusieurs variables	101

IV. - Séries infinies.

109.	Définition de la convergence	101
110-115.	Séries à termes positifs. - Règles de convergence	103 à 105
116-118.	Quantités imaginaires. - Module et argument. - Module et argument d'un produit. - Module d'une somme algébrique	106 à 107
119-122.	Séries absolument convergentes. - On peut y changer l'ordre des termes. - Multiplication de deux séries	108 à 110
123-124.	Séries semi-convergentes. - Leur valeur dépend de l'ordre des termes III à	112
125-126.	Théorème d'Abel	114 à 115
127-128.	Séries dont les termes sont fonctions d'une variable. - Convergence uniforme	116 à 117
129-131.	Séries procédant suivant les puissances entières et positives de la variable. - Cercle de convergence	117 à 120

V. - Produits infinis.

132-135.	Règles de convergence	121 à 123
136.	Application au produit II	124
137.	Application au produit (z)	125

VI. - Fonctions exponentielles et circulaires.

138-140.	Définition de ez, sin z, cos z pour z imaginaire. - Propriétés fondamentales de ces fonctions. - Formules d'Euler	125 à 127
141-142.	Définition de log z. - Ses propriétés fondamentales..	128 à 129
143-144.	Définition de zm. - Ses propriétés fondamentales.	130 à 131
145-146.	Discussion de la fonction ez	131
147-149.	Discussion des fonctions sin z et cos z	132 à 134
150.	Expression de sinm z et cosm z par les sinus et cosinus des multiples de z	134
151.	Expression de sin m z et cos m z en sin z et cos z	135
152-155.	Expression de sin z et cos z en produits infinis. - Formule de Wallis	136 à 139
156.	Développement de cot z en série	139

VII. - Séries et produits périodiques.

157-160.	Séries infinies dans les deux sens. - Application à la série . - Périodicité des fonctions trigonométriques	140 à 142
161-165.	Les quatre fonctions . - Formules fondamentales	142 à 146
166-167.	Leur expression en produits infinis	147 à 148
168.	Fonction Z	151
169.	Quotients des fonctions . - Double périodicité	152

VIII. - Série hypergéométrique. - Fonction .

170.	Série hypergéométrique. - Condition de convergence	154
171.	Son équation différentielle	155
172-173.	Relation entre les fonctions contiguës. - Valeur de F (,,,)	155 à 157
174-176.	Propriétés du produit (z)	158 à 159

IX. - Séries et produits multiples.

177-178.	Définitions	160 à 162
179-184.	Séries d'Eisenstein	162 à 167
185-190.	Séries à plusieurs variables	168 à 172

X. - Fractions continues.

191-194.	Développement d'un nombre en fraction continue. - Propriétés des réduites	172 à 175
195-198.	Développement d'une fonction. - Calcul direct des réduites	176 à 178

CHAPITRE IV.

MAXIMA ET MINIMA.

199-201.	Maxima et minima des fonctions d'une variable	181 à 182
202-204.	Maxima des fonctions de deux variables	182 à 185
205.	Maxima et minima relatifs	185
206.	Valeur maximum ou minimum d'une fonction dans un intervalle donné	187
207.	Distance d'un point à une droite	187
208-209.	Plus courte distance de deux droites	188 à 191
210.	Distance d'un point à un plan	192
211.	Maxima et minima du rapport de deux formes quadratiques	193

CHAPITRE V.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR.

I. - Points ordinaires et points singuliers.

212-217.	Cas des courbes planes	198 à 201
218-222.	Cas des surfaces	204 à 206
223-229.	Cas des courbes gauches	208 à 214

II. - Théorie du contact.

230.	Définition du contact	214
231-234.	Contact des courbes planes	215 à 217
235-237.	Contact d'une courbe et d'une surface	218 à 219
238-241.	Contact de deux courbes gauches	219 à 221
242-247.	Contact de deux surfaces	222 à 224
248-251.	Osculation	225 à 228

III. - Courbes et surfaces enveloppes.

252-254.	Enveloppe d'une famille de courbes	229 à 231
255-258.	Enveloppe d'une famille de surfaces dépendant d'un ou de deux paramètres	233 à 237

IV. - Courbes planes.

259-260.	Tangente et normale	238 à 239
261-262.	Différentielle de l'arc	240 à 241
263-264.	Cercle osculateur. - Développée	242 à 243
265-269.	Courbure. - Points d'inflexion	243 à 246
270-272.	Applications. - Parabole. - Ellipse. - Cycloïde	246 à 249

V. - Géométrie infinitésimale

273.	Considérations générales	251
274.	Tangente et différentielle de l'arc en coordonnées polaires.	252
275-278.	Arc de développée	254 à 257
279.	Tangente au lieu du sommet d'un angle constant circonscrit à deux courbes	258
280.	Théorème sur les coniques homofocales	259

VI. - Courbes gauches et surfaces développables.

281.	Tangente et plan normal	260
282.	Différentielle de l'arc	261
283.	Plan osculateur	262
284.	Surfaces développables	263
285.	Enveloppe des plans normaux	265
286.	Cercle osculateur	265
287.	Sphère osculatrice	267
288-295.	Valeur principale de divers infiniment petits. - Courbure. - Torsion. - Plans stationnaires	269 à 275
296.	Différence entre l'arc et sa corde	275
297-299.	Formules de MM. Frenet et Serret	276 à 279
300.	Une surface développable est applicable sur un plan	280
301.	Application à l'hélice	282

VII. - Systèmes de droites.

302-303.	Éléments qui déterminent la position relative de deux génératrices voisines	283 à 284
304-306.	Surfaces réglées. - Loi de variation du plan tangent.	286 à 288
307-308.	Caractère des surfaces développables	289 à 291
309-313.	Congruences. - Génératrices ordinaires et singulières. - Points principaux. - Foyers. - Double système de développables	291 à 293
314-316.	Lois de M. Kummer sur la répartition des génératrices voisines d'une génératrice ordinaire	295 à 298
317.	Lois d'une génératrice singulière	299
318-319.	Complexes	301 à 303

VIII. - Théorie des surfaces.

320-321.	Plan tangent. - Normale	303 à 304
322.	Élément de longueur	305
323-325.	Élément de l'aire	306 à 308
326.	Indicatrice	310
327-330.	Courbure des lignes tracées sur une surface	312 à 315
331-332.	Propriétés de la congruence des normales	315 à 317
333.	Condition pour que les droites d'une congruence soient normales à une surface	317
334-337.	Lignes de courbure. - Rayons de courbure principaux.	320 à 322
338.	Ombilics	323
339.	Ligne des points paraboliques	324
340.	Lignes asymptotiques	325
341.	Application aux surfaces de révolution	326
342.	Application aux surfaces développables	326
343.	Application à l'ellipsoïde	327
344-345.	Courbure d'une surface	329 à 330

IX. - Coordonnées curvilignes.

346.	Définitions. - Systèmes orthogonaux	331
347-348.	Élément de longueur	333 à 334
349.	Élément de volume	335
350.	Coordonnées polaires	336
351.	Coordonnées semi-polaires	337
352-357.	Coordonnées elliptiques	338 à 343
358-359.	Théorème de Dupin	343 à 346

CHAPITRE VI.

THÉORIE DES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES.

I. - Genre.

360-361.	Nombre des points qui déterminent une courbe d'ordre n	347
362.	Faisceaux de courbes	348
363.	Hexagone de Pascal	348
364.	Limite du nombre des points singuliers	349
365.	Genre	350
366.	Courbes unicursales	353

II. - Coordonnées homogènes.

367-369.	Coordonnées trilinéaires	354 à 356
370-374.	Covariants. - Leurs équations différentielles	356 à 361
375.	Discriminant	361
376.	Hessien	363
377.	Tangente	363
378-379.	Points singuliers	364
380-385.	Points d'inflexion. - Leur nombre	365 à 371
386-387.	Polaire	371
388-391.	Classe	372 à 373
392-396.	Coordonnées tangentielles	374 à 376
397.	Formules de Plucker	377
	FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Camille Jordan
Collection	Sciences
Parution	01/04/2020
Nb. de pages	406
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	557g
EAN13	9782329408552