Cours d'analyse de l'école polytechnique. calcul intégral. intégrales définies et indéfinies

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Cours d'analyse de l'école polytechnique. calcul intégral. intégrales définies et indéfinies

Camille Jordan - Collection Sciences

492 pages, parution le 01/04/2020

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Résumé

Cours d'analyse de l'École polytechnique. Calcul intégral. Intégrales définies et indéfinies / par M. C. Jordan,...
Date de l'édition originale : 1882-1887

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

DEUXIÈME PARTIE.

CALCUL INTÉGRAL.

INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES.

CHAPITRE I.

INTÉGRALES INDÉFINIES.

I. - Procédés d'intégration.

Numéros		Pages
1-3.	Intégration immédiate	1
3-4.	Décomposition en éléments simples	4
5-6.	Changement de variable	5
7-9.	Intégration par parties	6

II. - Intégration des fractions rationnelles.

10-19.

Décomposition en fractions simples. - Exemples

III. - Intégration des différentielles algébriques.

20-22.	Intégration des différentielles dépendant doeune courbe unicursale. - Exemples	19
23-25.	Différentielles binômes. - Cas d'intégrabilité. - Formules de réduction	21
26-30.	Intégration de	23
31.	Intégration de	29

IV. - Intégrales elliptiques et hyperelliptiques.

32-39.	Formules de réduction	29
40-47.	Réduction des intégrales elliptiques	37

V. - Intégration des fonctions transcendantes.

48.	Intégration de f (ax)	45
49-50.	Intégration de f (sin x, cos x) dx	46
51.	Intégration de f (x, ax,..., cos x, sin x,...) dx	49
52.	Réduction des intégrales	50
53.	Des intégrales	51

CHAPITRE II.

INTÉGRALES DÉFINIES.

I. - Définitions.

54-60.	Définition et propriétés fondamentales des intégrales définies. - Leur interprétation géométrique	52
61.	Cas où la fonction ou le champ d?intégration deviennent infinis. - Valeur principale doeune intégrale indéterminée	59

II. - Calcul des intégrales définies.

62-63.	Usage de l'intégrale indéfinie	62
64-65	Application à edx, à	64
66.	Décomposition en parties	68
67-70.	Changement de variable. - Exemples	69
71.	Intégration par parties	74
72.	Application à - Formule de Wallis	75
73-74.	Application à -Incommensurabilité de	77

III. - Calcul approché des intégrales définies.

75.	Limites de la valeur d'une intégrale définie. - Théorème de la moyenne	80
76-77.	Caractères pour reconnaître si une intégrale est finie et déterminée	82
78-81.	Applications	86
82.	Second théorème de la moyenne	89
83-85.	Développement doeune intégrale en série. - Intégration et différentiation des séries	92
86.	Développement de arc sin x	93
87-89.	Développement de	94
90-92.	Transformation de Landen	95
93.	Règle de convergence pour les séries	98
94-98.	Formule d?Euler	99
99-108.	Interpolation. - Méthodes de Cotes et de Gauss. - Méthode des trapèzes. - Formule de Simpson	105

IV. - Applications géométriques.

109-114.	Aire des courbes planes. - Parabole, hyperbole, cycloïde, ellipse. - Aire doeune courbe fermée	112
115.	Aire en coordonnées polaires	119
116-120.	Rectification des courbes. - Cycloïde, parabole, ellipse	120
120.	Rectification des courbes gauches	123

CHAPITRE III.

INTÉGRALES MULTIPLES.

121-124.	Volumes. - Définition et mode de calcul - On peut renverser l'ordre des intégrations	124
125.	Volume du tétraèdre trirectangle	130
126-127.	Volume en coordonnées curvilignes. - Application au solide de Viviani	131
128-130.	Aire des surfaces courbes	135
131.	Aire et volume des surfaces réglées	137
132.	Aire et volume des surfaces de révolution	138
133-136.	Aire et volume de l'ellipsoïde	138
137-141.	Masses, centres de gravité, moments d?inertie. Leur calcul par des intégrales triples	141
142.	Moment d?inertie doeune sphère	145
143-146.	Intégrales multiples. - Changements de variables	146
147-150.	Définition des intégrales multiples, quand la fonction ou le champ d?intégration deviennent infinis. - Condition d?existence de l'intégrale	149
151-153.	Exceptions aux théorèmes démontrés sur les intégrales multiples. - Démonstration donnée par Gauss de l'existence doeune racine pour toute équation algébrique	154

CHAPITRE IV.

DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES.

I. - Différentiation et intégration sous le signe .

154-155.	Différentiation par rapport aux limites	158
156-162.	Différentiation par rapport à un paramètre	159
163.	Intégration sous le signe	164
164-165.	Intégration des différentielles totales	164
166-167.	Calcul de	167
168-169.	Calcul de	168
170-172.	Calcul de	170
173-174.	Calcul de	174

II. - Intégrales eulériennes.

175.	Différentes formes de l'intégrale (n)	177
176.	Son expression par un produit infini	178
177.	(n + 1) = n (n)	180
178-182.	Expression de log(n) par une intégrale définie. - Son développement en série	180
183-185.	Théorème de Bernoulli	187
186- 187.	Intégrale eulérienne de première espèce. - Son expression par les fonctions	190
188-189.	Réduction de l'intégrale - Moment d?inertie de l'ellipsoïde	192

III. - Potentiel.

190-191.	Définition du potentiel. Son équation aux dérivées partielles pour un point extérieur à la masse attirante	194
192-199.	Cas du point intérieur	196
200-202.	Réduction à des intégrales doubles quand la densité est constante	202
203-206.	Attraction doeun ellipsoïde homogène. - Cas doeune sphère	204
207-210.	Potentiel doeune surface. - Discontinuité de l'attraction	208
211-215.	Théorèmes de Green	212

CHAPITRE V

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE.

I. - Formules de Fourier.

216-222.	Théorème de M. du Bois-Reymond	216
223-229.	Intégrales de Fourier	220
230-231.	Intégrales analogues formées avec les fonctions Xn	226

II. - Séries trigonométriques.

232.	Développements en sinus et cosinus. - Calcul des coefficients.	228
233-235.	Sommation des séries obtenues	230
236-238.	Autres développements analogues	234

III. - Fonctions de Laplace.

239-242.	Définition et propriétés fondamentales	236
243-248.	Développement d'une fonction de deux angles en fonctions de Laplace	240
249-251.	Développement doeune fonction doeune seule variable en fonctions de Legendre	244
252-255.	Développement suivant les réduites de l'intégrale	248

CHAPITRE VI.

VARIABLES IMAGINAIRES.

I. - Fonctions doeune variable imaginaire.

256-257.	Définition. - Interprétation géométrique	252
258-260.	Étude des fractions rationnelles. - Des fonctions et	256
261-265.	Étude de log z et de (z - a) m	257
266-272.	Fonctions algébriques	264
273-274.	Fonctions monodromes ou non monodromes - Points critiques, leur classification	270

II. - Intégrales des fonctions monodromes.

275-278.	Intégrales définies. - Leurs propriétés élémentaires	272
279-284.	Déformation de la ligne d'intégration. - Théorème des résidus	276
285-286.	Cas où l'intégrale prise sur un cercle de rayon infiniment petit ou infini est nulle	283
287.	Valeur principale de	284
288.	Application à	288
289.	Valeur principale de	289
290.	Application à	290
291.	Calcul de	291
292-296.	Expression des fonctions Xn par des intégrales définies	293

III. - Théorèmes généraux sur les fonctions monodromes.

297-300.	Expression doeune fonction arbitraire et de ses dérivées par des intégrales définies	297
301-302.	Série de Taylor	300
303-304.	Série de Laurent	302
305-306.	Zéros et pôles des fonctions monodromes. - Leur degré de multiplicité est entier	304
307-309.	Valeur de l'intégrale - Existence des racines des équations algébriques	305
310.	Série de Lagrange	307
311.	Série de Fourier	310
312-314.	Toute fonction sans point critique est une constante. - Une fonction qui n'a que des pôles est rationnelle	312
315-317.	Fonctions entières. - Théorème de M. Weierstrass	314
318-321.	Fonctions méromorphes. - Théorème de M. Mittag-Leffler	317
322-323.	Fonctions qui ont n valeurs et dont les points critiques sont algébriques	322

IV. - Fonctions doublement périodiques.

324-326.	Une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes distinctes	324
327-336.	Construction doeune fonction doublement périodique par ses zéros et ses pôles	328
337-338.	Théorème de M. Hermite	333
339-342.	Relation entre deux fonctions ayant les mêmes périodes. - Entre une fonction doublement périodique et sa dérivée	335

CHAPITRE VII.

FONCTIONS ELLIPTIQUES.

I. - Intégrales des fonctions algébriques.

343-345.	Diverses valeurs de l'intégrale doeune fonction algébrique	339
346.	Application à l'intégrale elliptique de première espèce	343
347-349.	Théorème d?Abel	345
350-351.	Application à l'intégrale elliptique	349

II. - Définition et premières propriétés des fonctions elliptiques.

352-353.	Définition des trois fonctions elliptiques	352
354-356.	Elles sont méromorphes et doublement périodiques	354
357-358.	Résolution des équations sn u = sn , cn u = en , dn u = dn . - Zéros et pôles des trois fonctions	358
359-363.	Valeur de sn , etc	361
364-367.	Propriétés des périodes. - Périodes elliptiques	365
368.	Cas où le module est réel, positif et < 1	369
369-372.	Addition des arguments. - Multiplication	371

III. - Développements des fonctions elliptiques.

373.	Développement par la série de Maclaurin	375
374-376.	Développement par la série de Fourier	376
377-378.	Développement en série de fractions	381
379-389.	Expression des fonctions elliptiques par les fonctions	382
390-392.	Relations entre les fonctions . - Nouvelle démonstration des formules d'addition	394

IV. - Transformation.

393-395.	Énoncé du problème. - Relations entre les périodes	397
396.	Simplification du problème	398
397-400.	Transformations du premier degré	399
401-403.	Transformations du premier degré pour les fonctions	403
404.	Division de la première période par 2	406
405.	Division de la deuxième période par 2	408
406.	Division de la première période par un nombre impair	411
407.	Division de la deuxième période par un nombre impair	414
408.	Multiplication de l'argument	414
409-415.	Division de l'argument	416
416-420.	Équation modulaire	422

V. - Intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce.

421-423.	Intégrale de seconde espèce	426
424-426.	Intégrale de troisième espèce	428
427.	Relations entre les périodes	431
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Camille Jordan
Collection	Sciences
Parution	01/04/2020
Nb. de pages	492
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	668g
EAN13	9782329408569