Cours d'analyse mathématique. dérivées et différentielles, intégrales définies

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Cours d'analyse mathématique. dérivées et différentielles, intégrales définies

Développements en séries, applications géométriques

Édouard Goursat - Collection Sciences

690 pages, parution le 01/02/2021

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QUANTITÉ

Résumé

Cours d'analyse mathématique. Dérivées et différentielles, intégrales définies, développements en séries, applications géométriques / par Edouard Goursat,...
Date de l'édition originale : 1917-1923

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L'auteur - Édouard Goursat

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE I. INTRODUCTION.

	Pages.
I. - LIMITES. - ENSEMBLES	1

1. Limites	1
2 Coupures	2
3 Ensembles bornés	4
4. La plus grande des limites	6
3. Suites convergentes	7

II. - FONCTIONS. - GÉNÉRALITÉS

6. Définitions	10
7. Continuité	12
8. Propriétés des fonctions continues	13
9. Fonctions discontinues	17
10 Fonctions monotones	21
11. Fonctions à variation bornée	21
12. Fonctions de plusieurs variables	26
13. Courbes continues	30
Exercices	32

CHAPITRE II. DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES

I. - DÉFINITIONS. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

14. Dérivées	33
15. Dérivées successives	35
16. Théorème de Rolle	36
17. Formule des accroissements finis	37
18. Formule de Taylor	39
19. Formes indéterminées	42
20. Dérivées partielle	44
21. Plan tangent à une surface	48
22. Passage des différences aux dérivées	49
23. Théorème de Schwarz	51

II. - NOTATION DIFFÉRENTIELLE

24. Différentielles	52
25. Différentielles totales	55
26. Différentielles successives doeune fonction composée	58
27. Différentielles doeun produit	60
28. Fonctions homogènes	62
29. Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables	63

III. - FONCTIONS DÉFINIES COMME LIMITES

30. Moyen de définir de nouvelles fonctions	66
31. Convergence uniforme	68
32. Séries uniformément convergentes	71
33. Fonction continue sans dérivée	75
Exercices	77

CHAPITRE III.

FONCTIONS IMPLICITES. - MAXIMA ET MINIMA. CHANGEMENTS DE VARIABLES.

I. - FONCTIONS IMPLICITES

34. Étude d'un cas particulier	81
35. Calcul de la racine par approximations successives	83
36. Dérivées des fonctions implicites	86
37. Application aux surfaces	87
38. Dérivées successives	88
39. Dérivées partielles	91
40. Équations simultanées	94
41 Calcul des dérivées	98
42. Inversion	100
43. Tangente à une courbe gauche	101

II. - POINTS SINGULIERS. - MAXIMA ET MINIMA

102

44. Points doubles d'une courbe plane	102
45. Points coniques d'une surface	106
46. Maxima et minima des fonctions doeune variable	108
47. Fonctions de deux variables	109
48-49. Étude du cas ambigu	112
50. Fonctions de trois variables	117
51. Distance doeun point à une surface	119
52. Maxima et minima des fonctions implicites	121
53. Remarques générales sur les maxima et minima absolus	122
54. Valeur maximum doeun déterminant	124

III. - DÉTERMINANTES FONCTIONNELS

126

55. Propriété fondamentale

126

IV. - CHANGEMENTS DE VARIABLES

132

56. Généralités	132
57. Problème	133
58. Applications	135
59. Problème II	138
60 Transformations des courbes planes	139
61. Transformations de contact	141
62. Transformations de contact générales	143
63. Problème III	144
64. Autre méthode	148
65. Problème IV	151
66. Transformation de Legendre	152
67. Transformation d'Ampère	154
68. Équation du potentiel en coordonnées curvilignes	155
Exercices	159

CHAPITRE IV. INTÉGRALES DÉFINIES.

I - MÉTHODES DIVERSES DE QUADRATURE

165

69. Quadrature de la parabole	165
70. Méthode générale	167
71. Fonctions primitives	169

II. INTÉGRALES DÉFINIES. - NOTIONS GÉOMÉTRIQUES QUI S'Y RATTACHENT

171

72. Les sommes S et s	171
73 Théorème de M. Darboux	173
74. Fonctions intégrables	175
75. Intégrales définies	178
76. Première formule de la moyenne	181
77. Seconde formule de la moyenne	182
78. Retour sur les fonctions primitives	184
79. Indices	189
80. Aire d'une courbe plane	190
81. Calcul d'une aire plane	192
82. Longueur d'un arc de courbe	197
83. Cosinus directeurs	202
84. Variation d'un segment de droite	202
85. Théorèmes de Graves et de Chasles	203

III. - CHANGEMENT DE VARIABLE. - INTÉGRATION PAR PARTIES

203

86. Changement, de variable	204
87. Intégration par parties	207
88. Formule de Taylor	209
89. Transcendance de e	210
90. Polynomes de Legendre	211

IV. - EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE. - INTÉGRALES CURVILIGNES

214

91. L'une des limites devient infinie	214
92 Application de la seconde formule de la moyenne	217
93. La fonction à intégrer devient infinie	220
94. La fonction l' (a)	224
95. Intégrales curvilignes	225
96. Application à l'aire doeune courbe fermée	228
97. Valeur de l'intégrale	230

V. - DIFFÉRENTIATION ET INTEGRATION SOUS LE SIGNE

231

98. Différentiation sous le signe	231
99. Intégration sous le signe	234
100. Intégrales uniformément convergentes	236
101. Théorème de D?Alembert	240
Exercices	242

CHAPITRE V. CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES.

I. - INTÉGRALES INDÉFINIES

246

102. Formule générale de réduction	247
103. Courbes unicursales	251
104. Intégrales algébrico-logarithmiques	254
105. Réduction des intégrales elliptiques et hyperelliptiques	257
106. Cas d?intégration algébrique	262
107. Intégrales elliptiques	264
108. Intégrales pseudo-elliptiques	267
109. Intégration de quelques fonctions transcendantes	269

II. - CALCUL APPROCHÉ DES INTÉGRALES DÉFINIES

271

110. Généralités	271
111. Interpolation	273
112. Méthode de Gauss	275
113. Planimètre d?Amsler	277
114. Intégration des séries	280

III. - MÉTHODES DIVERSES

285

115. Application des formules de différentiation et d'intégration sous le signes	285
116. Calcul de log	288
117. Valeur approchée de log	289
Exercices	291

CHAPITRE VI. INTÉGRALES DOUBLES.

I. INTÉGRALES DOUBLES. - PROCÉDÉS DE CALCUL. - FORMULE DE GREEN

296

118. Les sommes S et s pour une fonction de deux variables	296
119. Intégra les doubles	298
120. Calcul doeune intégrale double	301
121. Cas d'un champ quelconque	305
122. Analogies avec les intégrales simples	309
123. Formule de Green	312

II. - CHANGEMENTS DE VARIABLES. - VOLUMES. - AIRE D'UNE SURFACE COURBE

314

124. Formule préliminaire	315
125. Changement de variables: première méthode	317
120. Exemples	319
127. Changement de variables: deuxième méthode	321
128. Volumes	324
129. Calcul des volumes	327
130. Volume limité par une surface réglée	328
131. Aire d'une surface courbe	329
132. Élément de surface	333
133. Problème de Viviani	336

III. - EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE. - INTÉGRALES DE SURFACE

337

134. Intégrales doubles dans un champ illimité	337
135. La fonction B (p, q)	340
136. Intégrales de fonctions non bornées	342
137. Équation fonctionnelle d'Abel	344
138. Intégrales de surface	345
139. Formule de Stokes	348
140. Application aux volumes	350
Exercices	351

CHAPITRE VII. INTÉGRALES MULTIPLES. - INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES.

I. - INTÉGRALES MULTIPLES. - CHANGEMENTS DE VARIABLES

356

141. Intégrales triples	356
142. Procédés de calcul	357
143. Formule de Green	362
144. Rapport de deux éléments de surface	363
145. Changements de variables. Première méthode	365
146. Changements de variables. Deuxième méthode	366
147. Elément de volume	370
148. Coordonnées elliptiques	373
149. Intégrales de Dirichlet	374
150. Intégrales multiples	375

II. - INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

379

151. Méthode générale	379
152. Etude de l'intégrale	382
153. Périodes	384
154. Racines communes à deux équations	388
155. Extension des résultats précédents	389
Exercices	391

CHAPITRE VIII. SÉRIES ET PRODUITS INFINIS.

I. - RÈGLES DE CONVERGENCE

394

156. Généralités	394
157. Séries à termes positifs	395
158. Règles de Cauchy et de D?Alembert	396
159. Remarques diverses	397
160. Application de la plus grande des limites	400
161. Théorème de Cauchy	400
162. Critères logarithmiques	403
163. Règle de Raabe et Duhamel	405
164. Séries absolument convergentes	410
165. Séries semi-convergentes	412
166. Règle d'Abel	414

II. - SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. - SÉRIES MULTIPLES

416

167. Définitions	416
168. Multiplication des séries	417
169-170. Séries doubles	419
171. Séries multiples	425
172. Généralisation du théorème de Cauchy	426
173. Séries multiples à termes variables	427

III. - PRODUITS INFINIS

428

174. Définitions et généralités	428
175. Produits absolument convergents	429
176. Produits uniformément convergents	432
177. Produits infinis réels	434
178. Déterminants d?ordre infini	437
Exercices	438

CHAPITRE IX SÉRIES ENTIÈRES. - SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

I. - SÉRIE DE TAYLOR. - GÉNÉRALITÉS

439

179. Série de Taylor	439
180. Formule du binome	442

II. - SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

443

181. Région de convergence	443
182. Continuité doeune série entière	446
183. Dérivées successives d'une série entière	448
184. Seconde démonstration	452
185. Extension de la formule de Taylor	454
186. Fonctions majorantes	456
187. Substitution d'une série dans une autre série	459
188. Division des séries entières	463
189. Développement de	465

III. - SÉRIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

466

190. Région de convergence	466
191. Propriété des séries entières	469
192. Fonctions majorantes	476

IV. - FONCTIONS IMPLICITES. - COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES

476

193. Fonction implicite d'une variable	476
194. Théorème général	479
195. Formule de Lagrange	481
199. Inversion	484
197. Fonctions analytiques	485
198. Courbes ana lytique	486
199. Points doubles	490
200. Surfaces analytiques	493

V. - SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. - SÉRIES DE POLYNOMES

494

201 Séries de Fourier	494
202. Etude de l'intégrale	497
203. Fonctions développables en série de Fourier	502
204. Exemples	504
205. Extensions diverses	506
206. Développement d'une fonction continue. Théorème de Weierstras	508
Exercices	510

CHAPITRE X. THÉORIE DES ENVELOPPES. - CONTACT.

I. - COURBES ET SURFACES ENVELOPPES

513

207-208. Recherche des enveloppe	513
209. Enveloppe d'une droite	518
210 Enveloppe d'un cercle	520
211. Surfaces à un paramètre	521
212. Surfaces à deux paramètres	523
213-214. Surfaces développable	525
215. Enveloppe d'une famille de courbes gauches	529

II. - CONTACT DE DEUX COURBES. D'UNE COURBE ET D'UNI: SURFACE

532

219. Contact de courbes planes	532
217. Ordre du contact	534
218-219. Courbes osculatrice	537
220. Contact de deux courbes gauches	541
221. Courbes osculatrices	544
222. Contact doeune courbe et d'une surface	546
223. Droites osculatrices à une surface	548
Exercices	549

CHAPITRE XI. COURBES GAUCHES.

I. - PLAN OSULATEUR

552

224. Définition et équation	552
225. Plans osculateurs stationnaires	554
226. Tangentes stationnaires	556

II. - COURBURE ET TORSION - DÉVELOPPÉES

559

227. Indicatrice sphérique	559
228. Rayon de courbure	560
229. Normale principale. Centre de courbure	562
230. Droite polaire. Surface polaire	564
231. Torsion	565
232. Formules de Frenet	569
233. Développement de X, y, suivant les puissances de S	571
234. Équation intrinsèque	573
235. Développantes et développées	574
236. Hélices	578
237. Courbes de M. J. Bertrand	580
238. Sphère osculatrice	581
Exercices	583

CHAPITRE XII. SURFACES.

I. - COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE

586

239. Formule fondamentale. Théorème de Meusnier	586
240. Les deux formes fondamentales	592
241 Théorèmes d'Euler. Indicatrice	594
242. Rayons de courbure principaux	597

II. - LIGNES ASYMPTOTIQUES. - LIGNES DE COURBURE

601

243. Lignes asymptotiqus	601
244. Lignes asymptotiques des surfaces réglées	604
245. Lignes conjuguées	605
246. Lignes de courbure	607
247. Développée doeune surface	611
248. Formules d'Olinde Rodrigues	614
249. Théorème de Joacspanmsthal	616
250. Théorème de Dupin	617
251. Torsion géodésique	619
252. Application à quelques classes de surfaces	621
253. Représentation sphérique	623

III. - NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROTIES

625

254. Surfaces réglées	626
255. Congruences. Surface focale	630
256. Congruences de normales	632
257. Théorème de Malus	634
258 Complexes	636
Exercices	639
NOTE sur les formules de différentiation des intégrales définies	644
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME I.

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Édouard Goursat
Collection	Sciences
Parution	01/02/2021
Nb. de pages	690
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	933g
EAN13	9782329566016