Nouvelle navigation astronomique. théorie

Antoine Joseph François Yvon Villarceau - Collection Sciences

482 pages, parution le 01/01/2020

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Résumé

Nouvelle navigation astronomique. Théorie / par M. Yvon Villarceau,.... Pratique / par M. Aved de Magnac,...
Date de l'édition originale : 1877

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L'auteur - Antoine Joseph François Yvon Villarceau

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

		Pages
	AVERTISSEMENT	1
	Esquisse d'un Cours de Navigation	5

THÉORIE, PAR M. YVON VILLARCEAU.

CHAPITRE PREMIER.

MÉTHODES ANALYTIQUES DIRECTES ET INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES RÉSULTATS.

Nos
1.	Considérations préliminaires. - Indications sur les méthodes dont il sera fait usage: méthodes générales, solutions particulières; nécessité de faire usage des conventions algébriques relativement à l'emploi des signes. Formes d'équations à deux ou trois inconnues, dont la solution est censée obtenue et comprend la vérification numérique des résultats. Équations générales de la Trigonométrie sphérique, au nombre de trois, et déduites de la transformation des coordonnées rectangulaires	11
2.	La Nouvelle Navigation se distingue de l'ancienne en ce que l'on peut compter actuellement sur l'heure du premier méridien fournie par les montres marines, après applications des corrections nécessaires. Les méthodes de calcul et les procédés grapspanques, pour la détermination de l'heure du premier méridien, au moyen des montres marines, seront exposées par M. de Magnac. Coordonnées sphériques des lieux terrestres et des astres, réduites aux coordonnées géograpspanques en usage. Conventions relatives à leurs signes. Relations entre la longitude du lieu, l'heure sidérale du premier méridien, l'ascension droite, la longitude et l'angle horaire de l'astre observé. - Application des formules fondamentales de la Trigonométrie sphérique au triangle formé par le pôle, le zénith et l'astre	14
3.	Insuffisance d'une seule observation de hauteur: deux sont nécessaires	16
4.	Problème de la détermination du point, au moyen de l'observation de deux hauteurs, en supposant que l'on ne possède aucune donnée approximative sur la position du navire. - Les observations peuvent ne concerner qu'un même astre, mais elles doivent alors être séparées par un temps convenable; on suppose connu le déplacement du navire dans l'intervalle. - Réduction d'une hauteur observée en un lieu, à l'horizon d'un autre lieu. - Formule limitée aux termes du premier ordre. Note dans laquelle on donne les termes du deuxième et du troisième ordre de cette réduction	16
5.	Solution rigoureuse des équations du problème du point. - Elle se traduit géométriquement par l'intersection d'une droite et d'une surface sphérique. Note relative à l'influence des erreurs des hauteurs observées; limites des erreurs du point obtenu, en fonction de celles des deux hauteurs	20
6.	Discussion des circonstances favorables à la meilleure détermination des inconnues. - La condition principale est que l'angle des directions azimutales des deux astres soit le plus voisin possible de l'angle droit; la condition moins importante: que les distances zénithales soient le plus grandes possible, n'intéresse que les termes du deuxième ordre	23
7.	Solution du problème de la détermination du point, au moyen de deux observations de hauteur, obtenue en utilisant la position approchée, fournie par l'estime. - Équations de condition entre les hauteurs observées et estimées, et les corrections des coordonnées du navire, fournies par l'estime. Formules pour le calcul de la hauteur et de l'azimut estimés. Résolution des équations de condition: leur discussion confirme la règle énoncée relativement à la détermination des circonstances favorables. La plus grande erreur à craindre sur la position du point, et provenant des erreurs des hauteurs observées, est égale à la somme des valeurs absolues de ces erreurs, divisée par le sinus de l'angle compris entre les directions azimutales des deux astres	26
8.	De la représentation de portions peu étendues, de la surface d'une sphère, au moyen de figures planes; Plan tangent, Cartes marines. - Dans les deux systèmes, les figures représentatives d'un même espace sphérique, peu étendu, sont semblables entre elles et à la figure considérée; les grandeurs des deux échelles relatives, l'une au plan tangent, l'autre à la projection de Mercator, sont dans le rapport de l'unité à	28
9.	Droites de hauteur. - Les équations du problème de la détermination du point, réduites à la forme linéaire, sont précisément celles des droites dites de hauteur. Une droite de hauteur est un lieu géométrique de la position du navire. Cette droite est perpendiculaire à la direction azimutale de l'astre observé: la constante p de la droite de hauteur est la grandeur de la perpendiculaire abaissée du point estimé sur la droite de hauteur. Le pied de cette perpendiculaire est le point rapproché; à ce point correspond la moindre erreur de l'estime	30
10.	Solution grapspanque du problème de la détermination du point, au moyen de deux observations de hauteur. - Le point est l'intersection des deux droites de hauteur, correspondantes à chacune des deux hauteurs observées	31
11.	Problème indéterminé. - Tirer parti d'une observation unique de hauteur. -En traçant, de part et d'autre de la droite de hauteur, deux droites parallèles à celle-ci, et à des distances égales au maximum de l'erreur à craindre dans les observations de hauteur, le navigateur détermine une zone dans laquelle il peut se mouvoir, si les cartes marines n'y indiquent aucun obstacle; l'étendue de cette zone n'est pas illimitée dans le sens des droites	32
12.	Problème plus que déterminé. - Nombre des observations de hauteur, supérieur à deux. - Le nombre des intersections de n droites est -. Ces intersections ne coïncident pas, d'où nécessité de recourir à la théorie des probabilités: la coïncidence des points d'intersection ne peut s'obtenir qu'en appliquant, aux hauteurs observées, de certaines corrections la solution la plus probable est celle qui rend un minimum la somme des carrés de ces corrections. La question se transforme en la suivante: Trouver un point tel que la somme des carrés des normales menées de ce point aux diverses droites de hauteur soit un minimum; ou encore en celle-ci: Trouver un point tel que, si de ce point on mène des normales aux diverses droites de hauteur, ce point coïncide avec le centre de gravité des pieds des mêmes normales. Formation et résolution des équations fournies par la méthode des moindres carrés. Circonstances les plus favorables: elles ont lieu quand les directions azimutales ou leurs prolongements partagent la demi-circonférence en parties égales. Simplification qui en résulte dans la solution numérique ou les solutions grapspanques. Théorème de Géométrie correspondant à cette solution. Influence des erreurs de l'estime	33
13.	Cas particulier de trois droites de hauteur. - Solution grapspanque	37
13 bis.	De l'influence des erreurs des chronomètres sur la détermination de la position du navire	40

CHAPITRE II.

MÉTHODE INDIRECTE, DITE DES COURBES DE HAUTEUR.

14.	Traduction géométrique des données du problème de la détermination du point. Réduction des coordonnées des points de la Terre et des coordonnées des astres, au seul système de coordonnées géograpspanques en usage. Le cône ayant, pour axe, la direction géocentrique de l'astre observé et, pour demi-ouverture, la distance zénithale observée, coupe la surface de la sphère suivant un petit cercle qui est un lieu géométrique de la position du navire: ce petit cercle est le cercle de hauteur. Deux petits cercles de hauteur déterminent la position du navire par leurs points d'intersection, entre lesquels le choix ne présente aucune incertitude. Dans l'impossibilité d'exécuter des tracés sur une surface sphérique d'un assez grand rayon, on est obligé de recourir à l'emploi des cartes marines et d'y figurer les courbes représentatives des cercles de hauteur. Ces courbes sont les courbes de hauteur, lorsqu'on se sert des cartes construites suivant le système de projection de Mercator. On fait abstraction de l'aplatissement terrestre: il n'en résulte aucun inconvénient relativement à la détermination des coordonnées en usage	41
15.	Équation générale des courbes de hauteur. - On la déduira de l'équation du cercle de hauteur. Remarque: la tangente au cercle de hauteur, au point où le cercle mené du point estimé à l'astre rencontre ce cercle, n'est autre que la droite de hauteur. Relations entre les coordonnées d'un point de la sphère et les coordonnées du même point, dans le système de projection de Mercator, exprimées au moyen des fonctions hyperboliques. L'équation des courbes de hauteur s'obtient en substituant, dans l'équation du cercle de hauteur, aux latitudes et longitudes géograpspanques, leurs valeurs déduites des précédentes relations. Expressions générales des coordonnées du centre de courbure et des rayons de courbure. La tangente aux courbes de hauteur se confond avec celle des cercles de hauteur, menée par le point correspondant	43
16.	Simplification de l'équation des courbes de hauteur. - Trois cas à considérer: 1° pôle extérieur au cercle de hauteur; 2° pôle intérieur au cercle de hauteur; 3° pôle sur la circonférence du cercle de hauteur	47
17.	Pôle extérieur au cercle de hauteur: sin2 II > sin2 D. - Équations résolues par rapport à l'abscisse et par rapport à l'ordonnée. La courbe de hauteur se compose d'une suite de courbes fermées, égales et équidistantes: expressions de leurs demi-axes parallèles et perpendiculaires à l'équateur. Développements de ces demi-axes et de leur différence, en séries ordonnées suivant les puissances de H/D;; le second des mêmes demi-axes est plus grand que le premier. Moyen simple de déterminer la position du centre de la courbe et de ses sommets. Formules pour le calcul de la direction azimutale de l'astre. Détermination du rayon de courbure et des coordonnées du centre de courbure; solution grapspanque du même problème	48
18.	Pôle intérieur au cercle de hauteur: sinH < sin2D. - Equation de la courbe de hauteur. Coordonnées du centre et paramètres. La figure de la courbe est une espèce de sinussoïde: elle présente une infinité de centres équidistants et qui sont situés sur un même parallèle. Développement des paramètres en séries: construction grapspanque du paramètre b. Formules pour la détermination de l'azimut. Détermination du rayon de courbure et des coordonnées du centre de courbure; solution grapspanque du même problème	53
19.	Pôle situé sur la circonférence du cercle de hauteur: sin2 H - sin2 D. - Équation de la courbe de hauteur. Coordonnées des sommets. La courbe est symétrique par rapport aux méridiens qui passent par les sommets; elle se compose d'une suite de branches égales et comprises entre des asymptotes parallèles aux méridiens; ces branches s'étendent d'un seul côté, dans le sens des ordonnées. Leurs sommets sont situés sur un même parallèle. Détermination de l'azimut. Coordonnées du centre de courbure et rayon de courbure	57
20.	Remarques concernant les applications numériques. - Réflexions sur les avantages de l'emploi des fonctions hyperboliques, dans la théorie des courbes de hauteur; retour partiel à l'emploi des fonctions circulaires, motivé sur ce que, dans les cartes marines, l'échelle des latitudes, au lieu d'être formée d'une suite de parties égales, présente la traduction des ordonnées en latitudes vraies. Légères modifications à appliquer aux formules des numéros précédents, pour avoir égard à cette circonstance. Indications relatives aux Tables de fonctions hyperboliques, publiées par M. Houel et par M. Wladimir Vassal	59
21.	Applications numériques. - Observations faites par M. Marcq Saint-Hilaire, le 24 octobre 1874, des hauteurs de Lyre et de la Chèvre. Équations modifiées des courbes de hauteur et applications numériques à ces observations. Coordonnées du point intersection des deux courbes de hauteur obtenues par voie d'interpolation; vérification des calculs	59
22.	De l'emploi des arcs de cercle, dans le tracé des courbes de hauteur. - Courbes fermées. Substitution du cercle ayant pour rayon la moyenne arithmétique des deux demi-axes et pour centre celui de la courbe. Détermination de l'erreur maximum qui résulte de cette substitution. Calcul d'une Table donnant les limites, de latitude, ou de déclinaisons absolues, entre lesquelles l'erreur sur le point n'excède pas une quantité donnée m. Valeurs numériques correspondantes à . Détermination grapspanque du centre et du rayon du cercle substitué à la courbe de hauteur	62
23.	Substitution d'un arc de cercle, à une portion restreinte de la courbe de hauteur. - Problème général: "Étant donnés la position du centre de courbure et le rayon de courbure, pour un point (x, y) d'une courbe quelconque, déterminer la distance comprise entre le cercle osculateur au point (x, y) et un autre point (x', y') de la même courbe. Expression de en séries développées suivant les puissances des différences d'azimut, jusqu'aux termes du quatrième ordre. Restriction relative au voisinage d'un point d'inflexion, si la courbe en présente. Autre forme de , dans laquelle on remplace les différences d'azimut par la longueur de l'arc compris entre les points (x, y) et (x', y'): la valeur de est une quantité du troisième ordre.	64
24.	Application de la formule générale aux courbes de hauteur. - Elle résulte de la substitution des valeurs des première et deuxième dérivées du rayon de courbure, par rapport aux azimuts. Le terme de quatrième ordre de contient un facteur proportionnel à l'amplitude angulaire 0 de l'arc considéré. Recherche des conditions sous lesquelles la quantité ne dépassera pas une limite donnée m. Valeurs numériques correspondant à et . Dans le plus grand nombre des cas, on peut remplacer la courbe de hauteur par son cercle de courbure correspondant à un point donné, dans une étendue de plusieurs centaines de milles marins, et sous la simple condition d'éviter le voisinage des points d'inflexion s'il en existe	69
25.	Exemple d'application aux données numériques du n° 21: en choisissant une latitude qui diffère, de près de 2 degrés, de la latitude qu'il s'agit de déterminer, la substitution d'arcs de cercle, aux courbes de hauteur, ne donne lieu alors qu'à une erreur de 0',2	72
26.	Examen des cas où, la courbe de hauteur étant fermée, on lui substitue un cercle dont les coordonnées du centre sont prises, sur la carte, égales aux coordonnées de l'astre, et le rayon s'obtient en prenant, sur l'échelle des latitudes croissantes, l'espace compris entre les points de latitude . Calcul de l'erreur maximum résultant de cette substitution. Condition pour que cette erreur n'excède pas une limite donnée m: on est conduit à une inégalité qui se résout au moyen d'une équation du troisième degré; formules pour la résolution de cette équation: 1° au moyen des fonctions hyperboliques, vers les limites extrêmes de la variable; 2° au moyen des fonctions circulaires, dans la région intermédiaire. Calcul de Tables donnant les limites de distance zénithale, en fonction des latitudes ou déclinaisons, pour une valeur de	74
27.	Résumé de divers résultats auxquels conduit l'étude des courbes de hauteur. - 1° Le calcul des coordonnées, dont il a été donné un exemple au n° 21, ne sera vraisemblablement appliqué que dans des cas tout particuliers et fort rares d'ailleurs. - 2° Dans le cas de faibles distances zénithales et hors du voisinage des pôles, on pourra remplacer la courbe de hauteur par un cercle dont le centre et le rayon seront déterminés suivant les indications du n° 22, sous les conditions, relativement aux distances zénithales, qui résultent de la Table II. - 3° Dans le cas de distances zénithales qui ne seront pas faibles, la grandeur des rayons de courbure relativement aux dimensions des cartes marines et l'absence d'appareils faciles à employer pour tracer les arcs de cercle de grands rayons s'opposeront le plus souvent à l'emploi des procédés grapspanques fondés sur la théorie des rayons de courbure, et indiqués au n° 18; mais alors le simple tracé des droites de hauteur conviendra d'autant mieux que les rayons de courbure seront plus considérables. - Le procédé du n° 25 pourrait être appliqué, dans le cas de très-faibles distances zénithales, sous les conditions indiquées par la Table IV. - Conclusion. - La théorie des courbes de hauteur est particulièrement utile et d'une facile application, dans le cas des faibles distances zénithales; dans le plus grand nombre des autres cas, il conviendra de s'en tenir au tracé des droites de hauteur	82

CHAPITRE III.

CAS PARTICULIERS OU LES DEUX COORDONNÉES PEUVENT ÊTRE DÉTERMINÉES SÉPARÉMENT.

28.	Circumméridiennes. - Relations entre la longitude, la déclinaison de l'astre observé et la distance zénithale, au moment des passages méridiens supérieur ou inférieur	85
29.	Développements en séries, suivant les puissances de l'angle horaire. - Méthode qui réduit de moitié le nombre des différentiations en usage dans les Traités ordinaires de navigation. Expression de la latitude, en série ordonnée suivant les puissances de 0 = 2sin2 1/2 P	86
30.	Autres formes données aux développements relatifs aux circumméridiennes. - Elles résultent de la substitution de la valeur de 0 et de celle de sin2 1/2 P en fonction de P. Valeur du coefficient de P2, pour les passages supérieur et inférieur	89
31.	Du calcul des Tables de la valeur de et des limites de l'angle horaire P, lorsque les développements sont limités au terme en P2. - Latitude et déclinaison de même signe et de signes contraires. Conditions relatives au signe de la correction. Les valeurs de sont données dans la Table V. - Inégalité exprimant la condition que les erreurs commises, en négligeant les termes d'ordres supérieurs au deuxième, n'excèdent pas une limite donnée m. Nécessité d'avoir égard aux termes d'ordres supérieurs au quatrième. Moyen d'en éviter le calcul, en resserrant les limites de l'angle horaire. - Substitution, à l'inégalité précédente, de deux autres inégalités qui doivent être appliquées entre certaines valeurs des variables. Ces limites sont fournies par la considération des valeurs de la latitude et de la déclinaison qui annulent le terme en P4. Table de ces valeurs. Usage de cette Table dans le calcul des Tables qui donnent les limites de P. Nécessité de laisser certaines lacunes dans ces Tables, pour en éviter la trop grande complication: on admettra, dans cette circonstance, pour limites de P, le plus petit des deux nombres où commencent et finissent lesdites lacunes. La limite ainsi obtenue dépassera toujours les exigences de la pratique	90
32.	De l'emploi des observations de circumméridiennes. - 1° Cas où l'on aura fait une observation d'angle horaire, dans les circonstances où l'erreur de la latitude estimée est sans influence sensible (premier vertical et angle de position droit): la longitude étant connue, ainsi que sa variation depuis l'observation de l'angle horaire, on aura tout ce qu'il faut pour la réduction des circumméridiennes. - 2° Dans le cas général où l'on ne dispose que du point estimé, on pourra réduire les observations de circumméridiennes avec les éléments fournis par l'estime; ce qui dispensera du calcul direct de la hauteur estimée IIc, qui sert à la détermination du point rapproché. Formules relatives à cette circonstance. - 3° Cas des faibles distances zénithales: il n'est nullement besoin de se préoccuper de la circonstance relative au voisinage du méridien; on tracera le petit cercle de hauteur, en se conformant aux indications présentées nos 22 et 26, et résumées au n° 27	94
33.	Culminations. - Extension du sens de ce mot, au cas des passages inférieurs. Les variations des réfraction, parallaxe et demi-diamètre, sont sans influence sensible sur le moment de la culmination, dans les observations faites à la mer. Formules donnant la correction à appliquer aux latitudes obtenues en négligeant les mouvements du navire et ceux de l'astre, pour avoir égard à ces derniers; cas des passages supérieurs et inférieurs. Valeurs de relatives à la minute et à l'heure prises pour unité de temps	97
34.	De l'emploi des culminations. - Les observations de culmination permettent d'obtenir la latitude, sans une connaissance de la longitude plus exacte que celle nécessaire pour avoir la déclinaison de l'astre observé. On obtient ensuite la longitude au moyen d'un angle horaire, en tenant compte du déplacement du navire entre les observations. Minime erreur dans le calcul de ce déplacement, provenant de l'incertitude sur le moment de la culmination; elle est toujours négligeable	103
35.	Circompolaires. - On peut les observer par tout angle horaire. Ces observations pouvant être faites dans les relâches, avec des conditions de précision supérieures à celles que l'on obtient à la mer, il y a de l'intérêt à effectuer les développements jusqu'aux termes du quatrième ordre inclusivement. Solution rigoureuse au moyen des fonctions hyperboliques. Développement en séries, suivant les puissances de la distance polaire, basé sur l'emploi de ces fonctions	103
36.	Autre solution plus élémentaire que la précédente. - Le résultat est conforme avec celui du n° 35.	108
37.	Particularités du développement, relatives à la présence de tang H Influence des termes en 2; nécessité de les conserver; le terme en 3 ne dépasse pas 0", 35 dans le cas de la Polaire. Influence du terme en 4. Equation du troisième degré, donnant la limite de H qui répond à une limite m de l'erreur due au terme du quatrième ordre. Valeurs de relatives à des valeurs du terme en 4 et de la hauteur H. Exemples numériques	110
38.	De la construction de Tables pour la réduction des observations de hauteur des circompolaires. - La discussion du n° 37 a montré que l'on peut négliger les termes du troisième ordre. La latitude se déduit, de la hauteur observée H, au moyen de trois termes: le premier terme a pour argument l'heure sidérale; le second est fourni par une Table à double entrée, dont les arguments sont la hauteur et l'heure sidérale; le troisième nécessite également une Table à double entrée, dont les arguments sont l'heure sidérale et la date de l'observation. Par là, on est dispensé de prendre, dans les éphémérides, l'ascension droite et la déclinaison de l'astre. Les Tables publiées dans le Nautical Almanac sont construites dans ce système	112
39.	De l'emploi des observations de circompolaires. - Dès que la longitude est supposée connue à 1m ou 2m près, on peut effectuer la réduction des hauteurs de la Polaire, sans avoir à craindre plus de 1'/2 à 1' d'erreur dans la latitude qu'on en déduira: la longitude s'obtiendra ensuite au moyen d'une observation d'angle horaire, effectuée dans les conditions indiquées n° 34	113
40.	Angles horaires. - Ils servent à déterminer la longitude, quand l'observation des circumméridiennes ou des circompolaires a fourni une valeur de la latitude; ils permettent encore d'obtenir la longitude, au moyen d'une valeur grossièrement approchée de la latitude, quand on les observe dans les circonstances favorables. - Des séries d'observations de hauteur. Développement des termes du deuxième ordre. Equation de condition relative à leur anéantissement; deux solutions: observer près du premier vertical, et lorsque l'angle de position à l'astre est voisin de l'angle droit. Ces conclusions ne doivent pas être prématurément étendues à d'autres conditions que celle relative à l'anéantissement des termes de deuxième ordre, dans les séries de hauteurs	114
41.	Des circonstances favorables à l'observation des angles horaires. - Le navigateur ne d

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Antoine Joseph François Yvon Villarceau
Collection	Sciences
Parution	01/01/2020
Nb. de pages	482
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	655g
EAN13	9782329369303