Théorie des ensembles

Jean-Louis Krivine

274 pages, parution le 01/06/1998

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Résumé

Née il y a un siècle de l'esprit de Cantor, la théorie des ensembles fascine toujours les mathématiciens. A une époque où les controverses sur les fondements étaient incessantes, elle est venue proposer un cadre axiomatique aux mathématiques, ainsi qu'un témoignage de leur unité profonde.

Ce livre expose les bases d'une théorie qui est devenue un vaste domaine de recherches aux applications variées.

Dans la première partie sont d'abord exposés les axiomes usuels de la théorie des ensembles de Zermelo-Froenkei (ZF), les notions fondamentales d'ordinal et de cardinal, l'axiome du choix et ses équivalents classiques. Cette présentation amène naturellement à la question essentielle: quels axiomes peut-on ajouter à la théorie ZF sans la rendre contradictoire? C'est le problème de la consistance relative. On le résoud notamment pour l'axiome du choix et l'hypothèse du continu, suivant la méthode des modèles intérieurs. Cette partie s'achève sur une démonstration inédite, particulièrement élégante, du théorème d'incomplétude de Gôdel.

La seconde partie est consacrée à la méthode du forcing et à ses applications-, entre autres le célèbre résultat de Cohen sur l'indépendance de l'hypothèse du continu, et le théorème de Solovay sur la non-contradiction de l'axiome: <~ tout ensemble de réels est mesurable ".

Complété par une importante série d'exercices avec des indications détaillées, cet ouvrage s'adresse aussi bien aux étudiants de deuxième et troisième cycle qu'aux enseignants et chercheurs en mathématiques et à tous ceux qu'intéresse la philosophie des mathématiques.

Table des matières

Introduction
Première Partie : Modèles intérieurs
L'Axiomes de Zermelo-Fraenkel
Ordinaux, cardinaux
L'axiome de fonction
Le schéma de réflexion
L'ensemble des formules
Ensembles définissables en termes d'ordinaux
Modèles de Fraenkel-Mostowski
Ensembles constructibles
Le théorème d'incomplétude de Gödel
Deuxième Partie : Forcing
Un cas simple de forcing
Extensions génériques
Indépendance de l'hypothèse du continu
Indépendance de l'axiome du choix
Produits d'ensembles de conditions
Chaînes et antichaînes
Algèbres de Boole Complètes
Arbres
Exercices
Index

L'auteur - Jean-Louis Krivine

Jean-Louis Krivine est professeur à l'Université Paris 7, spécialiste de géométrie algébrique réelle, d'analyse fonctionnelle, de logique et d'informatique théorique. Il a créé, en 1982, l'équipe de logique mathématique, qui est l'un des plus importants laboratoires au monde dans ce domaine. Lauréat de l'Académie des Sciences en 1994 et Prix du Rayonnement français en 2004, il est l'auteur de plusieurs ouvrages de référence en logique.

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Cassini
Auteur(s)	Jean-Louis Krivine
Parution	01/06/1998
Nb. de pages	274
Format	15,5 x 23,3
Couverture	Relié
Poids	481g
Intérieur	Noir et Blanc
EAN13	9782842250140
ISBN13	978-2-84225-014-0